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        三維伊辛模型精確解研究取得新進展
         
        2019-11-14 | 文章來源:功能材料與器件研究部        【 】【打印】【關閉

          2007年中國科學院金屬研究所張志東研究員在英國《哲學雜志》(Philosophical Magazine)上發表論文,提出兩個猜想,并在猜想基礎上推定出三維伊辛模型的精確解。被《哲學雜志》審稿人評價為過去幾十年間,三維伊辛模型領域的最重要進展……可作為三維伊辛情況精確描述的一個基準。論文發表后在國際學術界引起了強烈反響和學術爭鳴。最近,張志東研究員在三維伊辛模型精確解研究方面又取得新的進展。他與日本數學家日本大學的鈴木理(Osamu Suzuki)教授、英國物理學家牛津大學的諾曼·馬赫(Norman H. March)教授合作,發展了一個三維伊辛模型的克利福德代數方法,通過證明四個定理,從正面支持了之前提出的兩個猜想,進而表明在兩個猜想基礎上推定的精確解是正確的。張志東研究員在最近的工作中證明了如下四個定理: 

          定理 (跡不變定理):當在原始的轉移矩陣中的直乘增加k項單位矩陣,三維伊辛模型的配分函數改變一個因子2k 通過除法抵消這個2k因子,以保持跡不變。調節單位矩陣與其他矩陣的次序以分隔轉移矩陣中不同排的e指數因子 (每排包含 n 個晶格點)。每排的e指數因子被單位矩陣隔離開來,以致它們可以被看成轉移矩陣的分矩陣而被分別處理。 

          定理二 (線性化定理):對三維伊辛模型的每一排的分矩陣進行一個線性化過程。局部地,每一排的分矩陣中的非線性項可以被線性化。  

          定理三 (局域變換定理)對三維伊辛模型的每一排的分轉移矩陣進行一個局域變換。局域變換改變局部系統的規范,平庸化系統的非平庸拓撲結構,同時在三維伊辛模型的本征矢量上產生拓撲相因子。  

          定理四 (對易性定理)在三維伊辛模型線性化過程和局域變換過程中算符的非對易性性質可以在約當-·諾依曼-維格納機制的框架中應用約當代數處理成對易,通過對在時空中演化的三維伊辛模型的t個系統進行時間平均來實現。  

          題目為《三維伊辛模型的克利福德代數方法》的論文發表在國際數學刊物《應用克利福德代數研究進展》(Advances in Applied Clifford Algebras)上。這項工作從正面支持了張志東研究員于2007年提出的兩個猜想,表明在兩個猜想基礎上推定的精確解是正確的。這項工作建立了拓撲量子統計物理學;利用約當代數、時間平均,在(3+1)維度的約當-·諾依曼-維格納機制框架內,通過拓撲變換和規范變換來處理三維多體相互作用體系的非平庸拓撲學問題。并且發現了三維多體相互作用體系的拓撲相因子。對理解物質之間的相互作用、拓撲學對物理性質的貢獻、空間的本質、時間的自發產生等具有啟發性的指導作用。相關工作對凝聚態物理、統計物理、高能物理、生物、計算機科學等領域的研究有著促進作用。 

          有序和無序是自然界普遍存在的兩種狀態,它們既矛盾對立又相互轉化。在兩個狀態轉變之間存在一個臨界點。臨界點附近存在著一些豐富有趣的臨界現象。臨界現象廣泛存在于自然界中,例如,鐵磁材料從順磁態到鐵磁態的轉變;某些合金從無序到有序的轉變;超導體從正常態到超導態的轉變;水以及許多液體材料的臨界點存在液態-氣態共存;液體-液體兩相體系中也存在兩相共存的臨界點,甚至生物體中DNA的折疊、病毒的傳播、人工智能體系的計算,都存在著有序和無序的相變和臨界現象。  

          伊辛模型是描述臨界現象的一個基本模型,它考慮每一個自旋有兩種可能的狀態(自旋向上和自旋向下),自旋和自旋之間存在相互作用。伊辛模型可被推廣用于研究連續的量子相變、基本粒子的超弦理論、動力學臨界行為等。原則上,伊辛模型可以描述具有兩種可能狀態的個體,個體之間存在相互作用組成的多體體系。它甚至可以描述森林火災、交通堵塞、股市漲落、輿情傳播等社會學、經濟學現象。 

          1920年德國科學家楞次教授提出伊辛模型1925年楞次教授的學生伊辛發表了一維伊辛模型的精確解,所以該模型也被稱為楞次-伊辛模型。這個方面的一個重要進展發生在1944年,美國科學家昂薩格教授得出了二維伊辛模型的精確解,第一次顯示從非奇異性的哈密頓量出發可以在臨界點出現物理函數的奇異性,被視作統計物理的重大進展。但是昂薩格的求解方法無法直接應用到三維伊辛模型的精確求解,遇到的根本性困難是在三維伊辛模型中存在著拓撲學問題。這個問題困擾了學術界近百年。 

          張志東研究員在科學網博客中以《追夢之旅》、《激辯猜想》、《終結猜想》三個系列的博文對三維伊辛模型精確解的求解過程和相關結果進行了科普。歡迎廣大同行和科學愛好者對此項工作開展進一步的學術討論和交流。 

          三維伊辛模型精確解研究相關論文鏈接:  

          1. 提出兩個猜想:Z.D. Zhang, Philosophical Magazine 87 (2007) 5309. 鏈接1 

          2. 初探數學結構:Z.D. Zhang, Chinese Physics B 22 (2013) 030513. 鏈接2

          3. 證明四個定理:Z.D. Zhang, O. Suzuki and N.H. March, Advances in Applied Clifford Algebras 29 (2019) 12. 鏈接3

         

          三維伊辛模型的精確解:不同相互作用參數條件下比熱與溫度的依賴關系 

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